Často jsme ohromeni zdánlivě neuvěřitelnými shodami okolností. Na obědě potkáte tři přátele a zjistíte, že všichni čtyři na sobě máte oblečení stejné barvy. Zdá se vám o vnukovi právě den předtím, než zčistajasna zavolá. Zjistíte, že šéfova nastávající chodila do stejné maličké základní školy jako vy.
Takové události nás pobaví nebo ohromí anebo v nás vzbudí podezření či pocit hlubšího mystického významu. Ale mají v nás podobné pocity vyvolávat?
Uvažujeme-li o nich z hlediska pravděpodobnosti, pak se v první řadě musíme ptát: Jak moc nepravděpodobná je tato událost? Je shoda okolností skutečně tak ohromující, nebo na ní vlastně není nic zvláštního?
Neštěstí nechodí samo Za první týden v listopadu 2003 bylo v oblasti velkého Toronta (lokalitě o rozloze 7125 km2 , kterou tvoří Toronto a čtyři další regiony: Durham, Halton, Peel a York) zaznamenáno pět vražd, přitom průměrný počet vražd za týden činil pouze 1,5. Tuto skutečnost média mohutně rozebírala a vytvářela atmosféru strachu z ohromné a narůstající vlny kriminality. Šéf torontské policie požadoval veřejné prošetření soudního systému, protože „neposkytuje dostatečné odstrašující prostředky“. Bylo takové znepokojení oprávněné?
Než si odpovíme, zamysleme se nad následující hádankou. Schéma v grafice ukazuje dva různé soubory, z nichž každý obsahuje 100 teček. Jeden soubor vznikl tak, že jsem každou tečku umístil náhodně, takže se mohla objevit v kterémkoli bodě uvnitř rámečku se stejnou pravděpodobností. V druhém jsem tečky umísťoval promyšleněji. Který soubor je skutečně náhodný: levý, nebo pravý?
Tečky v levé části obrázku vykazují různé vzory. V některých místech jsou dvě nebo tři tečky hodně blízko u sebe. Jinde jsou velké oblasti jen s několika málo tečkami. Dokonce se zdá, jako by směrem dolů tečky tvořily spirálu; vůbec nevypadají náhodně.
Zato tečky vpravo jsou pěkně rozptýlené po celém obdélníku. Žádná tečka není příliš blízko ani příliš daleko od jiné. Žádná oblast není pokryta příliš řídce. Tyto tečky vypadají hezky náhodně.
Jsou to však tečky vlevo, které jsou skutečně náhodné. V tomto souboru byla každá tečka umístěna kamkoli dovnitř rámečku se stejnou pravděpodobností, spirálový vzor a podobné jevy vznikly čistě náhodou (čestné slovo).
A je to soubor teček vpravo, který není doopravdy náhodný. Když jsem jej vytvářel, vyšel jsem z mřížky bodů umístěných ve stejných vzdálenostech od sebe a jen jsem každou tečku náhodně maličko posunul (takže už tak dokonale nezařezávají). Tečky v pravé polovině obrázku obsahují malý kousek náhodnosti (dostatečně velký na to, aby ošálil naše oči), zakreslovány však byly plánovitě tak, aby byly rovnoměrně rozptýlené po celém obdélníku velmi nenáhodným způsobem. Příklad ukazuje, že kdykoli se jedná o velké množství případů (jako třeba teček), mají některé z nich tendenci shlukovat se dohromady, tu a tam, čistě náhodou, aniž by to cokoli vypovídalo o trendech nebo příčinách či souvislostech.
Náhodnost nás svádí k tomu, abychom viděli různé vzory a vztahy, které ve skutečnosti nejsou nic víc než pouhé náhodné události. Lidé, kteří se zabývají teorií pravděpodobnosti, tomuto jevu říkají Poissonovo shlukování. Přesné pravděpodobnosti (Poissonovo rozdělení) poprvé vypočítal francouzský matematik Siméon- Denis Poisson v roce 1837.
Jen pouhá smůla Poissonovo shlukování může některé lidi znervóznit. Před časem jsem byl najat jako poradce pro jisté internetové kasino, protože manažerovi připadalo, že počítač nevybírá míčky ve hře keno správně. Míčky měly být vybírány rovnoměrně náhodně, ale manažer měl dojem, že jich příliš mnoho přichází z pozic, které jsou na hrací desce blízko čísla 17, a měl strach, že by toho nějaký mazaný zákazník mohl využít a vydělat. Neměl však důvod k obavám; pečlivý statistický rozbor potvrdil, že míčky byly skutečně vybírány se stejnými pravděpodobnostmi. To, co manažer pozoroval, nebylo nic jiného než Poissonovo shlukování v praxi.
A jak je to tedy s těmi torontskými vraždami? Poissonovo rozdělení nám říká, že při průměrném počtu 1,5 vraždy za týden je pravděpodobnost, že se v daném týdnu objeví pět vražd čistě náhodou, rovna 1,4 procenta. Takže bychom mohli očekávat, že pět zabití během jednoho týdne zaznamenáme jednou za 71 týdnů - téměř jednou za rok! Opravdu to není tak překvapující, ani to neznačí nic jiného než pouhou smůlu.
Oproti tomu týden bez jediné vraždy se vyskytne s pravděpodobností větší než 22 procent. A skutečně, Toronto zažívá mnoho týdnů zcela bez vražd. Ale nevzpomínám si, že bych někdy viděl novinový titulek hlásající: „Tento týden žádná vražda!“
Jiná možnost, jak můžeme o Poissonově shlukování uvažovat, vychází z dvojic a větších skupin. V grafice jsme měli v levém rámečku 100 teček. To znamená, že je tam téměř 5000 dvojic teček. Při tak vysokém množství vůbec nepřekvapí, že některé z dvojic jsou tak blízko sebe. Podobně se 78 vraždami v roce; existuje 3003 dvojic vražd a více než 21 milionů různých skupin pěti vražd. Při tolika možnostech, které jsou na výběr, opět vůbec nepřekvapí, že se některá pětice vražd odehraje během téhož týdne.
Setkání s neurvalci Poissonovo shlukování rovněž vysvětluje, proč jste někdy po několika týdnech bez jediného večírku pozváni na dvě nebo tři oslavy ve stejný den. Nebo po několika hodinách zcela bezproblémové jízdy narazíte na dva mizerné řidiče během pouhých několika minut. Nebo s vámi během jediného dne bude pět různých lidí jednat neurvale. Nebo vám během jednoho večera zavolají tři telefonní omyly. Nebo po 25minutovém otravném čekání na autobus přijedou bez důvodu tři autobusy za sebou. Na těchto událostech není nic mystického ani znepokojujícího. Jsou to jen důsledky zákonů pravděpodobnosti.
Když už mluvíme o autobusech, tak Poissonovo shlukování také vysvětluje, proč jsou důležité jízdní řády. Jestliže autobusy přijíždějí pravidelně jednou za deset minut, pak musíte čekat mezi 0 a 10 minutami, což je v průměru pět minut.
Kdyby však autobusy přijížděly zcela nezávisle, bez ohledu na jízdní řád či na sebe navzájem, tak už by to bylo úplně jinak. Můžete mít štěstí a dočkáte se autobusu (nebo dokonce několika autobusů) hned, nebo budete muset čekat hodně dlouho. Ukazuje se, že v tomto případě byste museli čekat v průměru 10 minut - přesně dvakrát déle, než kdyby autobusy jezdily podle jízdního řádu. Takže pokud by městské autobusy jezdily neorganizovaně, měli byste si stěžovat starostovi, že se vaše průměrná čekací doba zdvojnásobila.
Hledání společné příčiny Mnoho takzvaných shod okolností lze vysvětlit jako pouhou náhodu. Jindy se shody objeví proto, že zdánlivě nesouvisející události mají ve skutečnosti stejnou příčinu. Zisky bank vystřelí nahoru, právě když spadnou ceny bytů; oba jevy jsou způsobeny zvýšením úrokových sazeb. Nebo letecká doprava a návštěvnost muzeí prudce vyletí nahoru během téhož týdne, což se přihodí o jarních prázdninách.
Někdy jsou takové společné příčiny sotva patrné a zůstanou nepovšimnuty - i když vysvětlují zdánlivě překvapivé shody okolností. Až příště zase dva lidé naráz navrhnou totéž nebo udělají totéž nebo se začnou bavit o stejném problému, zeptejte se sami sebe, zda se toto překvapení nedá vysvětlit nějakou společnou příčinou.
***
Texty jsou ukázkou z knihy Zasažen bleskem, kterou vydalo nakladatelství Academia. Upravila redakce LN.
Série vražd vyvolala zbytečnou paniku
Během prvního týdne v listopadu 2003 zemřelo v Torontu a přilehlých oblastech cizí rukou pět lidí. Média šířila paniku a město ovládl strach. Obava z nárůstu kriminality byla však podle statistiků zbytečná. Průměrný počet vražd v Torontu a okolí činí 1,5 týdne. Podle Poissonova rozdělení dojde k pěti vraždám s pravděpodobností 1,4 procenta. Takže bychom mohli očekávat, že se pět zabití během jednoho týdne zopakuje jednou za 71 týdnů, tedy téměř jednou za rok.
Hloučky podle Poissona Graf i události v Torontu ukazují, že určité jevy mají tendenci shlukovat se dohromady. Přesné pravděpodobnosti těchto dějů poprvé už roce 1837 vypočítal francouzský matematik Siméon-Denis Poisson (1781-1840). Na jeho počest se jevu začalo říkat Poissonovo shlukování.
Náhodné nebo promyšlené rozmístění? Každý rámeček obsahuje stovku teček. Jeden ze souborů vznikl náhodně, druhý je výsledkem promyšlené kalkulace. Dokážete obrázky správně přiřadit? Přestože tečky v levé části obrázku utvářejí různé vzory, třeba i spirálu, jsou právě ony zakresleny náhodně. Body v pravé části jsou naopak rozmístěny na základě připraveného plánu.
Jeffrey S. Rosenthal
Působí jako profesor statistiky na Torontské univerzitě. Ve 24 letech získal doktorát z matematiky na univerzitě v Harvardu. Je autorem dvou vysokoškolských učebnic teorie pravděpodobnosti. Přestože se narodil v pátek třináctého, má v životě neobyčejné štěstí. ved
